Las variedades de Kähler son objetos geométricos de gran importancia debido a sus aplicaciones en la física teórica, especialmente en el campo de la teoría de cuerdas. Gracias al estudio de estos objetos, Shing Tung Yau fue galardonado con la medalla Fields. Un proyecto ambicioso consiste en clasificar una subclase particular de estos objetos llamados subvariedades reales de Kähler. Esto se logra cuando la codimensión es 4. Además, se demuestra que estos objetos son únicos.
Debido a la relevancia de las variedades de Kähler en el campo de la teoría de cuerdas (física teórica), es importante clasificar estos objetos y obtener nuevos ejemplos en los cuales trabajar. Sin embargo, se ha avanzado poco en estos aspectos en una clase particular: las subvariedades reales de Kähler. Incluso en codimensión baja, es decir, cuando no hay mucho espacio entre el espacio ambiente y el objeto matemático en sí, se ha logrado poco progreso. Se ha logrado un avance significativo al lograr esta clasificación y demostrar la unicidad de estos objetos cuando la codimensión es 4.
Para lograr este objetivo, utilizando las ideas geométricas del área de Deformaciones Genuinas, se muestra que bajo ciertas suposiciones sobre la nulidad relativa de la segunda forma fundamental, las subvariedades reales de Kähler de codimensión 4 se extienden a subvariedades reales de Kähler de codimensión 2. Esto es un paso importante, ya que estos objetos son más fáciles de estudiar cuando son más grandes. Además, aprovechando la clasificación de estos objetos cuando la codimensión es 2, se logra una clasificación cuando la codimensión es 4.
Como resultado del estudio, se encuentran explícitamente las rectas complejas mediante las cuales se construyen dichas extensiones. Esto es un avance novedoso, ya que generalmente en Deformaciones Genuinas solo se demostraba la existencia de dichas rectas, pero no se especificaban cuáles eran. Además, se explicita cómo es la segunda forma fundamental de dicha extensión.
La forma de lograr estas extensiones es única, a diferencia de lo mencionado en un trabajo anterior sobre estos objetos, donde se indicaba que podía haber varias formas de lograr una extensión. Esto es un hecho importante, ya que indica que no existen muchos ejemplos de subvariedades de Kähler en codimensión baja.
Otra aplicación es demostrar que estos objetos son rígidos. Ser rígido significa que no hay forma de deformar el objeto sin rasgarlo o estirarlo. Esto es importante, ya que refuerza el hecho de que el número de estos objetos no es grande. Por lo tanto, es de vital importancia descubrir nuevos ejemplos.
Por último, cabe mencionar que este es un gran avance hacia la resolución de la conjetura formulada hace algunas décadas por Yan y Zheng sobre las extensiones de estos objetos matemáticos. Las herramientas desarrolladas en este trabajo serán de mucha ayuda para lograr tal objetivo.
De este estudio se deriva que las subvariedades de Kähler de Codimensión 4 que satisfazen ciertas condiciones sobre la nulidad relativa de la segunda forma fundamental se extienden de forma única. Aparte, se consigue ciertos resultados relacionados a la rigidez de estos objetos.
REFERENCIAS
Chion, S. & Dajczer, M. (2023). Real Kaehler submanifolds in codimension up to four. Revista Matemática Iberoamericana. Advanced online publication. DOI 10.4171/RMI/1427 Real Kaehler submanifolds in codimension up to four
