Artículos de divulgación científica Enfrentando la complejidad a través de la decomposición. Una enfoque geométrico.

Enfrentando la complejidad a través de la decomposición. Una enfoque geométrico.

Uno de los métodos más efectivos para abordar problemas complejos es descomponerlos en componentes más simples y manejables. Luego, al combinar estas soluciones parciales, se obtiene una solución integral al problema mayor. Este enfoque, conocido como descomposición, se aplica en una variedad de campos, desde simulación hasta modelado, pasando por las ciencias sociales. En esta presentación, exploraremos un ejemplo geométrico que ilustra de manera impactante cómo la descomposición puede simplificar problemas aparentemente intrincados de la geometría.

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Hyperbolic space, Kaehler submanifolds

La descomposición de problemas complejos es una técnica habitual en nuestra vida diaria, aunque a menudo pasa desapercibida. Por ejemplo, ¿alguna vez te has preguntado cómo los servicios de streaming de películas te ofrecen recomendaciones personalizadas? Estas recomendaciones se basan en algoritmos sofisticados que, en su mayoría, comienzan por clasificar a los usuarios según sus preferencias. Luego, en lugar de abordar directamente el desafío de proporcionar recomendaciones a cada individuo, se resuelve primero el problema de ofrecer sugerencias para grupos o categorías de usuarios. Esto es un problema de menor complejidad pues se tiene mas información de donde obtener inferir conclusiones y luego facilita la obtención de una solución. La solución final surge al integrar las soluciones de todas estas categorías. Se puede modificar este enfoque para incorporar los cambios dinámicos que un individuo tiene sobre sus preferencias.

Otro ejemplo que surge de forma natural es en la invocación de funciones dentro de un pseudocódigo. Estas funciones resuelven problemas de menor complejidad cuya solución es base para resolver el problema mayor. Sin la ayuda de estas funciones, la solución no sería clara y entendible.
Como vemos este enfoque es común en diversos campos. Ahora presentaremos el uso de este enfoque para resolver un problema geométrico: Las Subvariedades de Kaehler en espacio Hiperbólico.

Las variedades de Kaehler son objetos geométricos de uso común entre físicos y matemáticos. Intuitivamente el lector puede pensar que estos objetos son como superficies (esferas, planos, cilindros, etc) de mayor dimensión y complejidad. La idea central para comprender estos objetos es entender como se “curvan”. Piense en la esfera, si no supiésemos cono una esfera se “curva” entonces no se sabría cual es el camino mas corto entre dos puntos. Conocer esto es de vital importancia para la industria aeronáutica, modelando a la Tierra como una esfera.

Se planteó describir estos objetos geométricos dentro de un contexto particular: estaban inmersos en un espacio prototipo conocido como espacio hiperbólico (Chion & Dajczer, 2023). Un ejemplo prototipo de estos objetos era la unión de objetos de menor complejidad. Surgió entonces la idea clave: ¿no podríamos estudiar este problema mediante el enfoque de descomposición? Después de todo, los ejemplos naturales son compuestos entes geométricos de menor dificultad. Utilizando esta técnica, la resolución del problema planteado resultó ser factible y elegante. Esto permitió clasificar y deducir ciertas implicancias físicas de estos objetos. Se concluyó que la existencia de estos objetos solo se da en ciertos contextos particulares y específicos. También se limitó la cantidad de ejemplos existentes de estos.

Para concluir, el enfoque de decomposición nos ha permitido resolver un problema complejo de forma elegante y simple demostrando la universalidad de este método. Este enfoque se puede aplicar en diversos campos ayudando en la comprensión del problema.

DATO: Este artículo se deriva del estudio hecho en el artículo titulado Kaehler submanifolds of the real hyperbolic space que tiene como autor al profesor Sergio Chión Aguirre, docente e investigador de Centrum PUCP.

Referencia:
Chion, S. & Dajczer, M. (2023). Kaehler submanifolds of the real hyperbolic space. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 66(3), 810-831. doi: 10.1017/S0013091523000445.

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